Van der Pol-vergelijking

In de dynamica beschrijft de Van der Pol-vergelijking een trilling met niet-lineaire demping, waarbij energie verloren gaat, die dus niet conservatief is. De oscillator wordt Van der Pol-oscillator genoemd en wordt beschreven door de tweede-ordedifferentiaalvergelijking

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}-\mu (1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+x=A\sin(\omega t)}$

waarin de variabele ${\displaystyle x}$ de plaatscoördinaat is en ${\displaystyle A\sin(\omega t)}$ de voorgeschreven excitatie. Beide zijn een functie van de tijd ${\displaystyle t}$. De scalairen ${\displaystyle A}$, de amplitude, ${\displaystyle \omega }$ de hoeksnelheid en ${\displaystyle \mu }$ als maat voor de niet-lineaire demping, zijn de parameters van de differentiaalvergelijking.

De Van der Pol-vergelijking vindt haar oorsprong in de elektrodynamica, en is genoemd naar haar bedenker, de Nederlandse elektronicapionier Balthasar van der Pol (1889–1959). Van der Pol ontdekte dat het gedrag van een met een triode opgewekte elektrische trilling afhing van niet-lineaire termen in de karakteristiek van de triode. De triode was één van de eerste elektronische componenten. Hij stelde de differentiaalvergelijking op, waarmee dit verschijnsel, dat ook in veel andere niet-lineaire systemen optreedt, adequaat kon worden beschreven.^[1]

Met de stelling van Liénard kan bewezen worden, dat er een zogenaamde limietcyclus bestaat voor de niet-geëxciteerde Van der Pol-oscillator ${\displaystyle A=0}$, aldus resulterende als voorbeeld voor een Liénard-systeem. Uit de differentiaalvergelijking voor de oscillator blijkt dat er in de limietcyclus twee grensgevallen zijn: vrijwel harmonische sinusvormige trillingen ${\displaystyle 0<\mu \ll 1}$, en relaxatietrillingen ${\displaystyle \mu \gg 1}$.^[2] Deze laatste, sterk niet-lineaire trillingsvorm dankt haar naam aan Van der Pol: dit vanwege de overeenkomst van deze oscillatievorm, gedurende een halve periode, met die van een (ont)ladende RC-schakeling, met relaxatietijd ${\displaystyle \tau =RC}$.^[3]

De geëxciteerde Van der Pol-oscillator wordt veel gebruikt in de niet-lineaire dynamica, als een voorbeeld van een natuurkundig systeem dat aanleiding kan geven tot chaotisch gedrag, alsmede tot andere niet-lineaire trillingsverschijnselen zoals bifurcaties en fasevergrendeling, phase locking.

1. ↑ (en) B vd Pol. A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations, 1920. Een theorie voor de amplitude van vrije en gedwongen triode trillingen, in Radio Review 1, blz 701–710, 754–762
2. ↑ (en) B. van der Pol & J. van der Mark (1928): "The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart". De hartslag beschouwd als relaxatie-oscillatie en een elektrisch model van het hart. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science Series 7, Suppl. 6, pp. 763–775, 1928.
3. ↑ Citefout: Onjuist label <ref>; er is geen tekst opgegeven voor referenties met de naam Thompson_Stewart